图像包含了自身的函数——塔珀自指公式

前言

中学时，我们学习了各种各样的函数，比如 $y = x^2$ , $y = \frac 1 x$ ，如果把这些函数的图像画在平面直角坐标系上，前者将是一个抛物线（红线），而后者会是一个双曲线（绿线）。如下图：

当然我们也可以把 x 和 y 都放在等式的同一边，比如 $x^2 + y^2 = 1$ ，它的图像是一个圆心在原点、半径为 1 的圆圈。甚至不一定非要是等式，比如 $x^2 + y^2 < 1$ ，图像是一个圆饼：

如果我告诉你，有一个函数的图像是它自身，你能相信吗？甚至于，这个函数的图像包含了「苟利国家生死以」这几个汉字，你敢信吗？

函数图像

上面说到的这个神奇的函数就是本篇文章的主题——Tupper’s self-referential formula，中文名「塔珀自指公式」。

在范围 $0 \leqslant x < 106, k \leqslant y < k+1$ 内，其中， $k =$

$$ 4858450636189713423582095962494202044581400587983244549483093085061934704708 \\ 8099284506447698655243648499972470249151191104116057391774078569197543265718 \\ 5544205721044573588368182982375413963433822519945219165128434833290513119319 \\ 9953502413758765239264874613394906870130562295813219481113685339535565290850 \\ 0238750928568926945559742815463865107300491067230589335860525440966643512653 \\ 4936364395712556569593681518433485760526694016125126695142155053955451915378 \\ 5457525756590740540157929001765967965480064427829131488548259914721248506352 \\ 686630476300 $$

这个函数在直角坐标系（x 轴从左至右，y 轴从下至上）上的图像如下：

而它的数学公式是：

Un-fucking-believable! 这难道是巧合？
先不论那一大串 k 怎么回事，我知道有些公式恐惧症患者可能已经开始打退堂鼓了……

其实它的原理说白了很简单，厉害点的小学生都能听懂。

公式详解

我们来仔细观察一下这个乍看上去让人头大的公式，先向不熟悉数学公式的读者解释两个符号，一个是向下取整符号 ⌊ ⌋，意味着求某个数的整数部分，比如 ⌊3.14⌋ 就等于 3，⌊2.99⌋ 还是等于 2。另一个是求余符号 mod， mod(a, b) 意味着求 a 除以 b 所得的余数，比如 $mod(3, 2)$ 就等于 $1$ 。事实上，对于任意一个整数 $n$ ，mod(n, 2) > 1/2 等价于 n 为奇数。

至于我们这个复杂的公式，我们把 $mod$ 符号里左边那一大串表达式称为 S，它其实在问： $S$ 除以 $2$ 所得的余数，向下取整后是 $1$ 还是 $0$ ？更进一步，可以理解为：S 的整数部分是不是奇数？这里比较难一眼看穿，建议读者自己举几个例子，比如 S = 2.4/3.2 等等，重点关注 S 的整数部分对结果的影响。

接下来我们分析 $S$ ，它的表达式为：

$$ \Large {\left\lfloor {\frac{y}{17}} \right\rfloor {2^{ - 17\left\lfloor x \right\rfloor - \left\lfloor y \right\rfloor \bmod 17}}} $$

考虑幂中负号的作用， $S$ 可以看成是 $\lfloor {\frac{y}{17}} \rfloor$ 除以 ${2^{17\left\lfloor x \right\rfloor {\text{ }} + {\text{ }}\left\lfloor y \right\rfloor \bmod 17}}$

我们先来看分母部分，取整符号太讨厌了，我们假设 $x,y$ 都是整数，那么对应到坐标系上就是一个个整数点，考虑向下取整符号的作用，就是把这个整数点右上方 $1\times 1$ 大小的正方形中的点都投射到左下角的整数点；所以，最终我们得到的图像是一个个 $1\times 1$ 大小的正方形小方块，这些小方块的左下角就是使得 S 整数部分为奇数的整数点。

那么分母就化成了 $17x + mod(y, 17)$ ，这不就是在坐标系上数格子嘛！ $y$ 轴从下至上， $x$ 轴从左往右，从左下角以 $0$ 开始数：

我们再来看分子 ⌊y/17⌋，它能保证在数格子的时候分子不变吗？当然可以，只要你能保证 $y$ 处在某个范围内，比如 $k \leqslant y < k + 17$ , 而且 k 必须是 $17$ 的整数倍。

那么综合来看 $S$ ，它到底在干什么呢？

一个整数除以 2 的 n 次幂，结果的整数部分是不是奇数，等价于，这个整数的二进制表达右数第 n+1 位是不是 1

举几个例子：
- 7/4 = 1.75，整数部分为奇数；从二进制的角度来，7 的二进制表达是 111，7 除以 2 的 2 次幂，即 111 的右数第 3 位，为 1。
- 6/2 = 3，整数部分为奇数；6 的二进制表达为 110，110 的右数第 2 位，为 1。
- 2/1 = 2，整数部分为偶数；2 的二进制表达为 10，10 的右数第 1 位（2 除以 2 的 0 次幂），为 0。

这就是整个公式的关键所在了。

在一块宽为 $106$ ，高为 $17$ 的格子板上作画，对于每个 $1\times 1$ 的小格子，我们要么不涂，要么涂满，涂满的记作 $1$ ，没涂的记作 $0$ 。我们把这些格子涂成公式的模样，按照数格子的顺序把这些 $1$ 和 $0$ 连在一起，形成一个长长的二进制数，然后把这个二进制数化为十进制，再乘以 $17$ ，最后就得到了我们最开始的 $k$ 。

读者甚至可以自己验算一番，比如我想画一条长为 $5$ 的竖线，那么我根据上面数格子的图，把要涂黑的地方打勾（记为 $1$ ），为了简便计算，我们把竖线的位置定为左下角，那么竖线对应的二进制数就是 $11111$ ，转化为十进制就是 $2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ , 再乘以 $17$ 得到 $527$ 。把这个数字填到这个页面中，点击作画，它会自动生成对应范围内 $(0 \leqslant x <106, 527 \leqslant y < 544)$ 的函数图像。

最后是膜法时间，当 $k=$

17260947413087897812584911285188052838178271756784919147447348873788039199141526127589664367418799056352121368359811233892736906377867549592656169749606768250079480359168435608576481277348810172121164237517361359899448252160618736114641624975214654389556459100552132254866096066796542706544966326066864026591203524178368117449268189614982377742072053621673159967577076063730809500126093843073302811806766443830092294902407510549289684043208160862827167153844024807906566900122266919455307088829865078202176402268932542875433959424

时，函数在对应范围内的图像是「苟利国家生死以」，大家可以试试……