皮克定理简介

数学

发布日期: 2021-12-24

更新日期: 2023-07-19

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皮克定理

简介

定理内容

给定顶点座标均是整点（或正方形格子点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积 \(A\) 和内部格点数目 \(i\) 、边上格点数目 \(b\) 的关系：

\[A=i+{\frac {b}{2}}-1\]

例子

\[ b=14,i=39,A=45 \]

证明

因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形 \(P\) ，及跟 \(P\) 有一条共同边的三角形 \(T\) 。若 \(P\) 符合皮克公式，则只要证明 \(P\) 加上 \(T\) 的 \(PT\) 亦符合皮克公式（I），与及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

多边形

设 \(P\) 和 \(T\) 的共同边上有 \(c\) 个格点。

\(P\) 的面积： \(i_{P}+{\frac {b_{P}}{2}}-1\)
\(T\) 的面积： \(i_{T}+{\frac {b_{T}}{2}}-1\)
\(PT\) 的面积：\((i_{T}+i_{P}+c-2)+{\frac {b_{T}-c+b_{P}-c+2}{2}}-1\) \(=i_{PT}+{\frac {b_{PT}}{2}}-1\)

三角形

证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：

所有平行于轴线的矩形；
以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；
所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。

矩形

设矩形 \(R\) 长边短边各有 \(m\) , \(n\) 个格点：

\(A_{R}=(m-1)(n-1)\)
\(i_{R}=(m-2)(n-2)\)
\(bi_{R}+{\frac {b_{R}}{2}}-1\)

\[ \begin{aligned} &=(m-2)(n-2)+(m+n)-2-1 \\ &=mn-(m+n)+1 \\ &=(m-1)(n-1) \end{aligned} \]

直角三角形

易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等，且 \(i\) , \(b\) 相等。设其斜边上有 \(c\) 个格点。

\(b=m+n+c-3\)
\(i={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}\)

\[ \begin{aligned} &~~~~~~i+{\frac {b}{2}}-1 \\ &={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}+{\frac {m+n+c-3}{2}}-1 \\ &={\frac {(m-2)(n-2)}{2}}+{\frac {m+n-3}{2}} \\ &={\frac {(m-1)(n-1)}{2}} \end{aligned} \]

一般三角形

逆运用前面对 \(2\) 个多边形的证明：既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若 \(P\) ， \(T\) 符合皮克公式，则 \(P\)加上 \(T\) 的 \(PT\) 亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成 \(1\) 个任意三角形和至多 \(3\) 个直角三角形。于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。