皮克定理简介

皮克定理

简介

定理内容

给定顶点座标均是整点（或正方形格子点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积 $A$ 和内部格点数目 $i$ 、边上格点数目 $b$ 的关系：

$$A=i+{\frac {b}{2}}-1$$

例子

$$b=14,i=39,A=45$$

证明

因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形 $P$ ，及跟 $P$ 有一条共同边的三角形 $T$ 。若 $P$ 符合皮克公式，则只要证明 $P$ 加上 $T$ 的 $PT$ 亦符合皮克公式（I），与及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

多边形

设 $P$ 和 $T$ 的共同边上有 $c$ 个格点。

• $P$ 的面积： $i_{P}+{\frac {b_{P}}{2}}-1$
• $T$ 的面积： $i_{T}+{\frac {b_{T}}{2}}-1$
• $PT$ 的面积：$(i_{T}+i_{P}+c-2)+{\frac {b_{T}-c+b_{P}-c+2}{2}}-1$ $=i_{PT}+{\frac {b_{PT}}{2}}-1$

三角形

证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：

• 所有平行于轴线的矩形；
• 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；
• 所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。

矩形

设矩形 $R$ 长边短边各有 $m$ , $n$ 个格点：

• $A_{R}=(m-1)(n-1)$
• $i_{R}=(m-2)(n-2)$
• $bi_{R}+{\frac {b_{R}}{2}}-1$

$$\begin{aligned} &=(m-2)(n-2)+(m+n)-2-1 \\ &=mn-(m+n)+1 \\ &=(m-1)(n-1) \end{aligned}$$

直角三角形

易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等，且 $i$ , $b$ 相等。设其斜边上有 $c$ 个格点。

• $b=m+n+c-3$

• $i={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}$

$$\begin{aligned} &~~~~~~i+{\frac {b}{2}}-1 \\ &={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}+{\frac {m+n+c-3}{2}}-1 \\ &={\frac {(m-2)(n-2)}{2}}+{\frac {m+n-3}{2}} \\ &={\frac {(m-1)(n-1)}{2}} \end{aligned}$$

一般三角形

逆运用前面对 $2$ 个多边形的证明： 既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若 $P$ ， $T$ 符合皮克公式，则 $P$加上 $T$ 的 $PT$ 亦符合皮克公式。 那么由于矩形可以分解成 $1$ 个任意三角形和至多 $3$ 个直角三角形。 于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。

定理提出者

Georg Alexander Pick^† (1859.8.10 – 1942.7.26)

乔治·亚历山大·皮克（Georg Alexander Pick）是一位奥地利数学家。生于约瑟法·施莱辛格（Josefa Schleisinger）和阿道夫·约瑟夫·皮克（Adolf Josef Pick）的犹太家庭。他在特雷津（Theresienstadt）集中营中不幸去世。