初中一道反比例函数题中隐含的线性代数思想

题目

点 $A,C$ 在反比例函数 $y = \frac{a}{x}(a > 0)$ 的图象上，点 $B,D$ 在反比例函数 $y = \frac{b}{x}(b > 0)$ 的图象上, $(a > b > 0)$ , $AB\parallel CD\parallel x$轴，$AB,CD$在 $x$ 轴的两侧，$AB=\frac{3}{4}，CD=\frac{3}{2}，AB$ 与 $CD$ 的距离为$6$，则 $a-b$ 的值是？

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Figure 1

初中的做法

初中的我看到这种题非常兴奋，但是很难一下贯通，老师在方法讲述时往往都有所“理所当然”。

初中时，我们这样做：

$$ \Large{ \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{{y_1}}} - \frac{b}{{{y_1}}} = \frac{3}{4}\\\frac{b}{{{y_2}}} - \frac{a}{{{y_2}}} = \frac{3}{2}\\\left| {{y_1} - {y_2}} \right| = 6\end{array} \right. } $$

一通化简通分，甚是累人。

现在，我们：

$$ \Large{ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{y_1}}}}&{ - \frac{1}{{{y_1}}}}\\{\frac{1}{{{y_2}}}}&{ - \frac{1}{{{y_2}}}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a\\b\end{array}} \right]{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{2}}\end{array}} \right] } \\\\ \Large{ \Rightarrow (a - b)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{y_1}}}}\\{\frac{1}{{{y_2}}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{2}}\end{array}} \right] } \\ \Large{ Here~we~have~| {{y_1} - {y_2}} | = 6 } $$

这时已经真相大白了。

我们确定等号左侧向量的方向，再通过标量 $a-b$ 进行缩放就可以了。

显而易见， $a-b$ 有且只有唯一解。