题目
点 \(A,C\) 在反比例函数 \(y = \frac{a}{x}(a > 0)\) 的图象上，点 \(B,D\) 在反比例函数 \(y = \frac{b}{x}(b > 0)\) 的图象上, \((a > b > 0)\) , \(AB\parallel CD\parallel x\)轴，\(AB,CD\)在 \(x\) 轴的两侧，\(AB=\frac{3}{4}，CD=\frac{3}{2}，AB\) 与 \(CD\) 的距离为\(6\)，则 \(a-b\) 的值是？
初中的做法
初中的我看到这种题非常兴奋，但是很难一下贯通，老师在方法讲述时往往都有所“理所当然”。
初中时，我们这样做：
$$ \Large{ \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{{y_1}}} - \frac{b}{{{y_1}}} = \frac{3}{4}\\\frac{b}{{{y_2}}} - \frac{a}{{{y_2}}} = \frac{3}{2}\\\left| {{y_1} - {y_2}} \right| = 6\end{array} \right. } $$一通化简通分，甚是累人。
现在，我们：
$$ \Large{ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{y_1}}}}&{ - \frac{1}{{{y_1}}}}\\{\frac{1}{{{y_2}}}}&{ - \frac{1}{{{y_2}}}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a\\b\end{array}} \right]{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{2}}\end{array}} \right] } \\\\ \Large{ \Rightarrow (a - b)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{y_1}}}}\\{\frac{1}{{{y_2}}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{2}}\end{array}} \right] } \\ \Large{ Here~we~have~| {{y_1} - {y_2}} | = 6 } $$这时已经真相大白了。
我们确定等号左侧向量的方向，再通过标量 \(a-b\) 进行缩放就可以了。
显而易见， \(a-b\) 有且只有唯一解。
